二维情况
首先,给出如下的二元一次方程组:
2x−y=0−x+2y=3我们初中就对上面的二元一次方程组进行过求解,求解很简单。但是我们现在利用线性代数来表示这个式子,上式可以表示为:
[2−1−12]⏟A[xy]⏟ˆx=[03]⏟b我们这里假设用小写字母表示向量,大写字母表示矩阵。上面可以二元一次方程组便转化为求解x,y。
下面我们从几种不同的角度来求解上面的方程组:
1、从行的角度看,也就是画出上面两个方程的图像:
很明显的可以看出方程的解是x=1,y=2。
2、从列的角度看,方程组可以表现为列的线性组合:
x[2−1]+y[−12]=[03]令向量a=[2,−1]′,b=[−1,2]′,c=[0,3]′,则问题变为找到适当的x,y将向量a,b 进行线性组合得到向量c。同样我们可以通过作图求解:
从上图可以看到(2,−1)+2(−1,2)=(0,3),从而得到x=1,y=2。
三维情况
上面的问题都是在二维平面上进行求解的,下面来看看三维下的情况:首先,给出三元一次方程组:
2x−y+0z=0−x+2y−z=−10x−3y+4z=4同样可以得到其矩阵的表示形式:
[2−10−12−10−34][xyz]=[0−14]还是按照上面的方法分析:
1、从行的角度看,也就是画出上面三个方程的图像(在这里变成了三维空间的平面):
上图的matlab代码为:
1 | figure |
然后人工进行一些修正即可。从图中可以看出,三个平面交于一点(0,0,1)也就是方程组的解:x=0,y=0,z=1。
2、同样从列的角度考虑该问题:
x[2−10]+y[−123]+z[0−14]=[0−14]不用通过计算或作图,我们从上式就可以轻易得到x=y=0,z=1,这比上面一种方法要简单得多。
画出上面四个列向量的图(其中后两个列向量相同(0,−1,4)′):
上图的matlab代码为:
1 | a=[2 -1 0]; |
然后人工标上箭头,当然也可以通过命令标上箭头。