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【线性代数】方程组的几何解释

二维情况

首先,给出如下的二元一次方程组:

2xy=0x+2y=3

我们初中就对上面的二元一次方程组进行过求解,求解很简单。但是我们现在利用线性代数来表示这个式子,上式可以表示为:

[2112]A[xy]ˆx=[03]b

我们这里假设用小写字母表示向量,大写字母表示矩阵。上面可以二元一次方程组便转化为求解x,y

下面我们从几种不同的角度来求解上面的方程组:

1、从行的角度看,也就是画出上面两个方程的图像:

很明显的可以看出方程的解是x=1,y=2

2、从列的角度看方程组可以表现为列的线性组合

x[21]+y[12]=[03]

令向量a=[2,1],b=[1,2],c=[0,3],则问题变为找到适当的x,y将向量a,b 进行线性组合得到向量c。同样我们可以通过作图求解:

从上图可以看到(2,1)+2(1,2)=(0,3),从而得到x=1,y=2


三维情况

上面的问题都是在二维平面上进行求解的,下面来看看三维下的情况:首先,给出三元一次方程组:

2xy+0z=0x+2yz=10x3y+4z=4

同样可以得到其矩阵的表示形式:

[210121034][xyz]=[014]

还是按照上面的方法分析:


1、从行的角度看,也就是画出上面三个方程的图像(在这里变成了三维空间的平面):

上图的matlab代码为:

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figure
t=-10:.1:10;
[x,z]=meshgrid(t);
y=2*x;
mesh(x,y,z);
hold on
y=(x+z-1)/2;
mesh(x,y,z)
hold on
y=-(4-4*z)/3;
mesh(x,y,z)

然后人工进行一些修正即可。从图中可以看出,三个平面交于一点(0,0,1)也就是方程组的解:x=0,y=0,z=1


2、同样从列的角度考虑该问题

x[210]+y[123]+z[014]=[014]

不用通过计算或作图,我们从上式就可以轻易得到x=y=0,z=1,这比上面一种方法要简单得多。

画出上面四个列向量的图(其中后两个列向量相同(0,1,4)):

上图的matlab代码为:

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a=[2 -1 0];
b=[-1 2 3];
c=[0 -1 4];
quiver3(0,0,0,a(1),a(2),a(3),'color','r')
hold on
quiver3(0,0,0,b(1),b(2),b(3),'color','g')
hold on
quiver3(0,0,0,c(1),c(2),c(3),'color','b')

然后人工标上箭头,当然也可以通过命令标上箭头。

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